معادلة ماكدونالد (The MacDonald Equation)

معادلة ماكدونالد هي أجمل شيء اكتشفته على الإطلاق. فهي تنتمي إلى نظرية الأعداد، الفرع الأكثر قدماً والأقل استعمالاً في الرياضيات, كان لصديقي إيان ماكدونالد (Ian MacDonald)  شرف اكتشافه أولاً، ولقد كانت لي نفس الفرحة تقريبًا باكتشافه للمرة الثانية. لم يكن أحد منا يعلم أن الآخر كان يعمل على ذلك.  كان لدينا بنات في نفس الفصل بالمدرسة، لذلك تحدثنا عن بناتنا وليس عن الرياضيات. فقد اكتشفنا معادلة لـ "دالة تاو" (المرموز لها ب τ(n)) في المعادلة) والتي تم اكتشفها على يد العبقري الهندي سرينيفاسا رامانوجان (Ramanujan) قبل أربع سنوات من وفاته عن عمر يناهز الثانية والثلاثين. هنا على اللوح قمت بكتابة  معادلة ماكدونالد ل" دالة تاو". معادلة ماكدونالد لها تماثل خماسي مذهل لم يلاحظه رامانوجان (Ramanujan). يمكنك رؤية التماثل الخماسي في الفروق العشرة المضروبة معًا على الجانب الأيمن من المعادلة. نحن ممتنون لرامانوجان (Ramanujan)، ليس فقط للأشياء الجميلة العديدة التي اكتشفها، ولكن أيضًا للأشياء الجميلة التي تركها ليكتشفها الآخرون. 

لتوضيح كيفية عمل معادلة ماكدونالد، دعونا ننظر إلى الحالات الثلاث الأولى، n=1, 2, 3. المجموع هو مجموعات مكونة من خمسة أعداد صحيحة a, b, c, d, e مجموعها صفر ومجموع مربعاتها يساوي 10n. تعني عبارة "(mod 5)" أن a هي من الصورة5j+1 . و b من الصورة 5k+2, وهكذا حتى e من الصورة 5p+5,  بحيث j, k, و p  أعداد صحيحة موجبة أو سالبة. علامات التعجب في المعادلة تعني عملية المضروب, 1!=1, 2!=1x2=2, 3!=1x2x3=6, 4!=1x2x3x4=24. عندما n=1, فان الاختيار الوحيد ل a, b, c, d, e  هو 1, 2, 2-, 1-, 0 (أعداد مجموعها صفر ومجموع مربعاتها يساوي 10), وقد وجدنا أن tau (1) =1. عندما يكون n=2, فان الاختيار الوحيد هو 1, 3- ,3 1- , 0, وتكون في هذه الحالة tau(2)=-24.  عندما n=3, يكون هنالك اختيارين , 1, 3-, -2, 4, 0 أو 4-, 2, 3, 1-, 0,  التي تعطي نفس المساهمة، وقد وجدنا tau (3) =252. من السهل فحص وجود ثلاثة قيم ل tau(n) التي تتوافق مع القيم التي اعطيت بواسطة معادلة رامانوجان (Ramanujan).  

معادلة ماكدونالد هي حالة خاصة لعلاقة أعمق بكثير اكتشفها إيان ماكدونالد بين نوعين من التماثل نسميهما: تماثل مقاسي(modular) وتماثل تآلفي (affine). تم العثور على نوعين من التماثل في الأصل في أجزاء منفصلة من العلوم: تماثل مقاسي(modular) في الرياضيات البحتة وتماثل تآلفي (affine) في الفيزياء.  التماثل المقاسي (modular) يتجلى للاشخاص في رسومات الملائكة الطائرة والشياطين للفنان موريتز إيشر(Mauritz Escher). استطاع إيشر من فهم الرياضيات التي يرتكز عليها التماثل، واستطاع وصف تفاصيلها جيداً في رسوماته. التماثل التآلفي (affine) يتجلى في التنظيم الغريب للجسيمات الاساسية التي أوجدها علماء الفيزياء باستخدام مسرعات الطاقة العالية. وقد كان عالم الرياضيات روبرت لانجلاندز (Robert Langlands) أول من افترض وجود صلة بين هذا التماثل وأنواع اُخرى من التماثل. لقد اتخذ إيان ماكدونالد (MacDonald) خطوة عظيمة نحو تحقيق حلم لانجلاندز(Langlands). المعادلة التي قمت بكتابتها على اللوح ما هي الا جزء صغير من الخطوة الكبيرة التي اتخذها ماكدونالد (MacDonald).