طريقة نيوتن، Newton's Method

 هذا التعبير هو وصف رياضي لطريقة نيوتن. 

 قبل عهد نيوتن بفترة طويلة، استخدم الإغريقيون هذا التعبير لإيجاد الجذر التربيعي لعدد موجب. لكن منذ أن اعطى نيوتن هذه الطريقة، أصبح استخدام هذه الطريقة هدفاً لإعطاء تقريب لحلول المعادلة f(x) = 0. منذ وقت مبكر من حياتي المهنية في الرياضيات، كنت مفتونًا بالسؤال، لماذا تعطي هذه الطريقة ناتج بهذه السرعة والجودة وما هي تحديدات استخدامها.  

في الحالة الخاصة التي تكون فيها f متعدد الحدود (بولينوم)، حسب النظرية الأساسية للجبر فأن للمعادلة f(x) = 0 يوجد حل. يمكن أن يكون الحل x عددًا حقيقيًا أو مركبًا. في أوائل القرن التاسع عشر، قدم جاوس (Gauss) برهاناً على وجود نتيجة لهذه المعادلة بناءً على خوارزمية والتي يمكن اعتبارها سلسلة تطبيقات لطريقة نيوتن (كان في البرهان نقص). كانت ورقتي البحثية عام 1981 "النظرية الأساسية للجبر ونظرية التعقيد" مبنية على طريقة نيوتن ومرتبطة بفكرة جاوس (Gauss).  

 ربما تكون نظرية التعقيد الحسابي هي الموضوع الرئيسي لعلوم الكمبيوتر النظرية؛ ففي هذه النظرية، تُسمى المشكلة قابلة للحل في حالة وجود خوارزمية تحلها باستخدام حد متعدد الحدود, بولينوم (بالتناسب مع حجم وحدة الإدخال) لعدد العمليات بحجم البِتّ. من جهة ، استلهمني هذا الموضوع من علوم الكمبيوتر. ومن جهة أخرى، وجدت أن النصوص الرسمية في هذا الموضوع غير مُجدية لتحليل تعقيد طريقة نيوتن.  

 في الورقة أعلاه، قمت بعدّ العمليات الحسابية، وليس عمليات البِتّ لقياس التعقيد. وعلاوة على ذلك، لعب مفهوم "العدد الشرطي" للتحليل العددي دورًا خلال بحثي لتعقيد النظرية الأساسية للجبر. لقد أظهرت قابلية الحل من وجهة النظر هذه. 

 لمسألة إيجاد جذر لمتعدد الحدود, بولينوم,  يوجد تعميم طبيعي لهيئة معادلات متعددة الحدود. وفي محاولة للتعامل مع هذا الامتداد، انضم إليّ مايك شوب في كتابة سلسلة من الأوراق البحثية المشتركة أطلقنا عليها اسم "تعقيد نظرية بيزوت". وكان هدفنا هو جعل هذه المشكلة قابلة للحل من خلال إيجاد خوارزمية تعطي تقريبًا في زمن متعدد الحدود, بولينومي. لقد فشلنا في تحقيق هدفنا ولا تزال هذه المسألة مفتوحة ومهمة حتى يومنا هذا. ومع ذلك، فقد اقترب بيتر (Peter) بورغيسر (Burgisser) وفيليبي كوكر (Felipe Cucker) كثيرًا من الحل في ورقة بحثية حديثة نُشرت في مجلة Annals of Mathematics. وقد استخدما في بحثهما التطورات التي توصّل إليها كارلوس بلتران (Carlos Beltran )ولويس باردو( Luis Pardo)، وبالطبع فإن طريقة نيوتن لعبت دورًا محوريًا في عملهما. 

لقد قام لينور بلوم (Lenore Blum) بضمّي انا ومايك شوب (Mike Shub) للعمل سويةً على تعميم الـ Turing Machine في علوم الكمبيوتر لتقديم الدعم الأساسي للدراسات التي تبحث عن الصفر. وأصبحت خوارزميات الأعداد الحقيقية المرتبطة بهذا المشروع الذي شارك فيه ثلاثة أشخاص مدمجة في إطار زمن متعدد الحدود, بولينومي، اكتمال NP، القدرة على التعامل مع كل هذا كان له معنى جيد, وفي النهاية انضم إلينا فيليبي كوكر (Felipe Cucker) لكتابة الكتاب "التعقيد والحوسبة الحقيقية". أحد المراجع هو Volume 3 (650 صفحة) من أعمالي المجمعة. 

 لقد كتب جون كيتس (John Keats)  : "الجمال هو الحقيقة، والحقيقة هي الجمال..." كما كتب أيضًا: "إن كل شيء جميل هو متعة أبدية". أود أن أضيف أن الجمال بسيط وعميق. وآمل أن تقنعك كلماتي القليلة بأن طريقة نيوتن هي مفهوم للجمال العظيم.