ثلاثة عشر؟

يمكن وصف جزء كبير مما يقوم به عالم الرياضيات بأنه استكشاف "الامور" من خلال المنطق، والتي تصبح حقيقية بالنسبه له تماماً كالمنزل الذي يعيش فيه، عدا عن عدم وجود اي غرض مادي على الاطلاق. احد الامثلة هي النظائر متعددة الابعاد للمواد الصلبة الأفلاطونية. من المتوقع ان يكون أحد الابراج في ساجرادا فاميليا لچاودي (Gaudi's Sagrada Familia) يحتوي على شكل عشروني _ مضلع منتظم ذو عشرون ضلع. هذا امر حقيقي وملموس. لكن جميع علماء الرياضيات يشعرون انه هناك احتمالية ان يكون للفضاء أكثر من ثلاثة ابعاد ، وفي القرن التاسع عشر اكتشف شلايفلي (Schläfli) بعض الاصدارات رباعية الابعاد من قائمة أفلاطون (Plato's ) التي بإمكاننا تخيلها فقط. إن شغفي لمدة كبيرة تمركز في الامور التي كُتبت كَ Mg في معادلتي، والمعروفة باسم "فضاء قياسي للمنحنيات من النوع g ". حتى بمعايير الواقع لعلماء الرياضيات، هذه المساحات بدت محاطة بالضباب بالنسبة لي عندما كنتُ طالباً، وجعلتني في حيرة إذا كان لهذا وجود رياضي كامل أو أنه مجرد خيال، لقد أردت تغيير ذلك.  

في ذلك الوقت، سطع ألكسندر جروتينديك (Alexander Grothendieck) على الساحة. لقد كان شخصاً فريداً حقاً، وكانت لديه مهارة الانتقال الى مستويات اعلى من التجريد (abstraction) اكثر من اي شخص من قبل، وقد قام باستعمال هذه التجريدات لتسليط الضوء على امور ملموسة نسبياً والتي لم نكن نفهمها بعد. اتضح لاحقاً انه يمكن تطبيق احدى نتائجه العميقة على مساحتي التي لا تزال غامضة. لم اعرف حينها ماذا افعل بهذا. لكن عظمة النتيجة اصبحت واضحة فقط بعد حوالي عشرين عاماً من العمل مع جو هاريس (Joe Harris). عندما عرفنا ما يكفي لكي نتعامل مع M_g كموجود حقيقي (بشكل تقني، تنوع جبري شبه إسقاطي).  

اذاً عن ماذا تتحدث المعادلة، ولماذا هي جميلة؟ انها تنص على ان شيئين ("حزم خطوط") هم بالتاكيد نفس الشيء (متماثلان شكليا\ متماكلان). التعبيرفي الجهة اليسرى هو مفتاح الهندسة لكل فضاء مثل M_g. وبالعودة الى چاوس (Gauss)، فقد عرفنا بصورة واضحة أن هناك ثلاثة انواع من المساحات: المسطحة كالمستوى، المنحنية بشكل موجب مثل سطح الكرة الأرضية والمنحنية بشكل سالب كالسرج (حيث ان مجموع زوايا المثلث يكون اقل من 180 درجة). التعبير في الجهة اليسرى يحدد لأي مجموعة تنتمي مساحتنا من بين هذه المجموعات الثلاث. بينما التعبير على الجهة اليمنى هو ما أطلق عليه راؤول بوت (Raoul Bott ) بإسم بنية "طوطولوجيا": مبنى اساسي الناتج من تعريف فضاء M_g.  تبين ان تكاملهم (تماثلهم شكلياً كان المفتاح الذي برهن انه عندما يكون g  كبير بشكلٍ كاف فان هذه الفضاءات  تنتمي لمجموعة الفضاءات ذوات المنحنيات السالبة.  

إن اكثر شيء مثير للدهشة في هذه المعادلة هو الرقم "13". يمكنك البحث في العديد من مجلات الرياضيات وستجد ان الاعداد الوحيدة الاكبر من الرقم 2 هي ارقام الصفحات في المجلة. ان للعدد "13" تاريخ طويل من حساب الاشياء, على سبيل المثال، حقيقة ان للمسطح من الدرجة الثالثة يوجد بالضبط 27 مستقيماً (بما في ذلك الخطوط المعقدة!) ولكن بصراحة، لا يزال الامر بالنسبة لي وكأنه دعابة غريبة من الخالق.