نظرية المؤشر (The Index Theorem)

الرياضيات هي في الوقت نفسه فنٌّ وعِلم، للجمال فيها دورٌ حاسم، وهي حقيقة يعرفها كلُّ عالم رياضيات

وقد عبّر عن ذلك جيّدًا عالمُ الرياضيات الألماني العظيم هيرمان فايل، أحد أبطالي، أجاد صياغة ذلك :

" في عملي دائماً ما أحاول الدمج بين الحقيقة والجمال، وعندما يتوجب عليّ الاختيار بينهما اختار عادةً الجمال." 

بما ان الرياضيات أكثر العلوم دقةً والمخصصة لإيجاد الحقيقة، فان مقولة فايل (Weyl) لربما تبدو غريبةً أو حتى استفزازية هدفها الغمز بالموافقة. ولكن أنا على ثقة بان فايل (Weyl) كان جدياً للغاية في مقولته. التناقض الوهمي في المقولة ما هو الا نتيجة للحقيقة اننا نبحث، إذا جاز التعبير، عن الحقيقة الموضوعية، بينما في كل مرحلة الحقيقة غير مؤكدة ومؤقتة. بينما الجمال، الذي يعتبر مسألة ذاتية، تتعلق برؤية الناظر.   

ولكن ما هو الجمال في الرياضيات، هل هو شبيه للجمال بالفنون، موسيقى أو شعر؟ كارل فايشتراس (Karl Weierstras) , الذي على ما يبدو كان عالماً صارماً في مجال التحليل، قال مرةً: 

" لا يمكن أن تكون عالماً رياضياً كاملاً ان لم تكن تملك حّس الشاعر" 

هذه المقولات لربما تكون مبهمة للأشخاص غير المختصين في هذا المجال. على الرغم من أني أرى ان معادلة اويلر المشهورة e^2πi = 1, بعمقها وايجازها، مكافئة للمقولة الشهبرة: "أكون أو لا أكون..." للأمير هامليت. 

لربما الهندسة المعمارية هي الفن الأكثر تناغماً مع الرياضيات، بحيث لهما نفس التصور الواسع المليء بالتفاصيل الدقيقة. حيث أن الأسس المتينة والنجاعة الوظيفية هي المركبات ألاساسية .  

للمعادلة التي اخترتها لتجسيد جمال بحثي توجد عظمة، هذه العظمة قادمة من تاريخ عريق ومن عدة روابط لتفرعات مختلفة في الرياضيات: طوبولوجيا، هندسة، تحليل. لكن التفاصيل الدقيقة للبرهان وبساطتها، تخفي في طياتها عمق الظاهر فقط للمختصين الذين يستطيعون تقديرها. 

مثلما يوجد للقلعة ثلاثة أبراج، فان لهذه المعادلة ثلاث مركبات مصدرهم ثلاثة فروع في الرياضيات ترتبط معاً بشكل عجيب. 

كما للهندسة المعمارية لها أسس من الماضي وتتماشى مع التقنية الحديثة ولها امتدادات مستقبلية.   

أساسيات المعادلة يربطونها لعدة سلالات ملكية: لاويلر (Euler) المار بين جسور كينجسبيرج (Königsberg) لريمان (Riemann) الذي يعد ويقدر الاعداد الأولية، ولجاوس (Gauss) الباحث في انحناءات الكرة الأرضية. 

هنالك سردية قصصية في هذا، ولكن المستقبل أكثر أهمية من الماضي. أكثر السلالات الملكية تندثر وتختفي وقليل منها تستمر الى زمن طويل. 

عمر معادلتي تقريباً 40 عاماً، ومنذ ذلك الوقت، وجدت لها تطبيقات رائعة وغير متوقعة على الإطلاق في الفيزياء الأساسية، والتي كان فايل (Weyl) سيفهمها ويقدره. في الواقع، يمكن إرجاع العديد من الأفكار الرئيسية إلى عمل فايل (Weyl) نفسه. 

أخيراً وبمنظور شخصي، معادلتي تجسد تعاوناً مثمراً مع العديد من زملائي: فيرتز هيزبرش (Fritz Hirzebruch) من  

بون، راؤول بوت (Raoul Bott) من هارفرد، ايزدور زنجر (Is Singer) من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا وفيجي فطودي (Vijay Patodi) من بومباي الذي توفي بشكل تراجيدي في جيل صغير مَثًل شعراء موهوبين.  

الجمال هو تجربة انسانية ومن الجدير مقاسمته مع الاصدقاء.