معادلات زمرة ري (Ree group)

هل الجمال موجود في الرياضيات؟ هذا السؤال يتعلق بموجودات رياضية والعلاقة بينها، الذي يعتبر الموضوع الاساسي للبرهان. يتفق علماء الرياضيات بشكل عام على وجود الجمال في مبنى النظريات والبراهين، حتى ولو كان رؤية هذا الجمال تقتصر على علماء الرياضيات.  

يمثل مصطلح الزمرة بصورة رائعة مفهوم التماثل في الرياضيات. ما هي الزمرة؟   نفرض "موجود" ما، ملموس أو مجرد. تماثل "الموجود" - رياضياً، هو " التماثل الذاتي" (automorphism) وهو ملائمة الشيء لنفسه بحيث نحافظ على صفاته.  الجداء\ التركيب (The product) لتماثلين الواحد تلو الاخر، هو أيضاً تماثل، ولكل تماثل يوجد تماثل معاكس الذي يستطيع ابطاله. يرى علماء رياضيات بالزُمر من النوع "لي" (Lie groups) المتواصلة، على سبيل المثال تماثل دائرة أو كرة، كأسرار رائعة لفرع الرياضيات والفيزياء. بالإضافة الى الزُمر "لي" المتواصلة، يوجد أيضاً زُمر نهائية، منهن ما يمكن الحصول عليه من الزُمر "لي" بواسطة الاختزال (reduction) لفضاء نهائي أو مُنفصل (discrete).  

قد تكون الزُمر معقدة للغاية، إذا فرضنا زُمرة، فانه من الممكن أن نلائمها لزمرةٌ اُخرى، بحيث نحافظ على عملية تركيب مبنى الزُمرة (الضرب).  تكون الزُمرة بسيطة إذا كانت صورة دالة التلاؤم تعطي نسخة دقيقة عن الزمرة الأولى أو للحالة التي فيها نُلائم كل حد في الزُمرة لحد الوحدة\ العنصر المحايد (the identity). الزُمر البسيطة هي المبنى الأساسي لجميع الزُمر، وحتى يتسنى لنا بحث الزُمر علينا معرفة جميع الزُمر البسيطة (لا يمكن تفكيكها\تقليصها). ظهرت زُمرالتماثل النهائية لأول مرة ببحث اوريسط غلواه (Galois) في موضوع المعادلات الجبرية. كان غلواه (Galois) في عمر الثامنة عشر ربيعاً فقط، قادراً على برهنة انه لا يمكن حل معادلة عامة من الدرجة الخامسة بواسطة عمليات جبرية عن طريق اظهاره أن الزُمرة A₅  للتبديلات الزوجية (التبديلات المكونة من عدد زوجي من التبادلات الأحادية\ (a b) (لمجموعة 5 أحرف a,b,c,d,e  ) هي زُمرة بسيطة. هذه الزُمرة هي الزُمرة اللا- تبادلية البسيطة الأصغر، كما انها أيضاً زُمرة التماثل لعشريني الوجوه، مبنى هندسي جميل جداً!  كان من الممكن تصور أن جميع الزُمر البسيطة يمكن وصفها كزُمر تماثل لموجودات هندسية خاصة، ولكن صعوبة تعلم زُمرة بسيطة من منظور مجرد افتراضي هو صعوبة البناء بشكل دقيق للمكونات الأساسية الهندسية الملائمة للصفات الداخلية للزُمرة.  حتى يومنا هذا، البرهان الكامل لتصنيف الزُمر المنتهية البسيطة تمتد لحوالي الاف الصفحات واستغرقت مدة أربعون عاماً من الجهود الجماعية لاًكثر من مئة عالم رياضيات.  

عائلات الزُمرالمنتهية البسيطة نشأت من الزُمر من النوع "لي" (Lie) التي تم ايجادها مبكراً، باستثناء ثلاثة منها.  هذه العائلات لم تنشأ فوق حقل الاعداد الحقيقية أو المركبة، ولكن نشأت فوق حقول نهائية مُحدد حلقة  p, (characteristic p,) , بحيث p, عدد أولي. وبهذا الانتقال لا يزال مُمكناً القيام بالعمليات الحسابية العادية، ما عدا للخاصية التي فيها نتيجة جمع عدد لنفسه p, مرات هو دائماً صفر. كل شيء في المبنى انتقل للحقل النهائي بسلاسة, ان لم يكن بسهولة, ما عدا للمجموعات الشاذة التي اكتشفها عالم الرياضيات ريماك ريي (Ree) بأن الزُمر من النوع "لي"  (Lie )   B₂ و F₄   بمُحدد حلقة 2 ( characteristic 2), و G₂  بمُحدد حلقة 3  (characteristic 3) , أيضاً أقرّ بوجود تماثل اخر الذي من الممكن انشاء منه عائلات اُخرى من الزُمر البسيطة, في هذه الأيام تُسمى زُمر ريي الملتوية (twisted Ree) ; زُمر B₂ الملتوية وقد تم الحصول على هذا التفرد ( Uniqueness ) سابقاً على يد سازوكي (Suzuki) بواسطة  طرق مختلفة.  التفرد في حالة الزُمرة F₄  قد تم العثور عليه أيضاً، ولكن في حالة الزُمرة G₂ أصبح الامر بعيد المنال.  

بعد جهد كبير من تومسون (Thompson) لبرهنة تفرد الزُمرة G₂ تبقى فقط اظهار أن التحول الرياضي (transformation) المعيّن   σ للحقل النهائي بمُحدد حلقة 3  (characteristic 3) يحقق هيئة معادلات معقدة بالعديد من المتغيرات، كان له خاصية ان مربعه σ² على x يساوي تكعيب العدد أي  x³ , بكلمات اُخرى   σ² = 3.  لسوء الحظ، الطرق الجيرية الاعتيادية لتقليص عدد المتغيرات سرعان ما قادت لهيئة معادلات مع عدد كبير من الشروط بحيث لا يمكن معالجته بأي حاسوب.  ماذا سنفعل؟ في عام    ,1973 جندني تومبسون (Thompson) لمعالجة القضية، ولكن لم أستطع التقدم بالمرة لأجل حل هذا الكم الكبير من المعادلات المعقد. في عام 1979 , عندما كان العمل على نظرية التصنيف بأوجها، قمت بالتفكير مجدداً في حل معادلات تومبسون (Thompson). سألتُ نفسي إذا كان من الضروري حقاً كتابة هذه المعادلات المعقدة، أو لربما يوجد طريقة للالتفاف حول المشكلة.  عن طريق خدعة غريبة اتضح انه من خلال عملية التبسيط من الممكن استخراج معلومة إضافية صغيرة، ولكنها مفيدة. من خلال إعادة عملية التبسيط مع الخدعة والمعلومة الإضافية الصغيرة تم تحسين المعلومات الإضافية. من خلال تكرار عملية التحسين هذه ثلاث مرات، تم الحصول على المعادلة المطلوبة σ² = 3، استثناء بعض الحالات القليلة التي يمكن التحقق منها عن طريق الحاسوب. وبذلك تم حل مشكلة التفرد وتمت إضافة لبنة أخرى إلى دليل تصنيف الزُمر البسيطة المنتهية. 

تمت الطباعة على شكل كتابة بالطباشير البيضاء على سبورة سوداء داكنة اللون، بدءًا من اليسار بمعادلات تومبسون (Thompson) والسهم المزدوج الذي يشير إلى   σ² = 3.، مما يشير إلى أن المعادلات الموجودة على اليسار تشير بالفعل إلى تفرد زُمر " ريي" (Ree) الملتوية. كانت المشكلة جميلة، والإجابة المتوقعة كانت أيضًا بسيطة، وبالتالي جميلة، وكانت معادلات تومسون (Thompson) تتمتع بجمال سري داخلي لأنها تعكس خصائص الزُمرة. وبالنسبة للمختص فإن الحل الذي لا يحتاج إلى القوة الغاشمة كان له جماله الخاص أيضًا. في الواقع، فإن علماء الرياضيات، وأحيانا بشكل لا إرادي، في بحثهم عن الحقيقة يبحثون أيضا عن الجمال كدليل. كما كتب الشاعر كيتس (Keats)، الجمال هو الحقيقة، والحقيقة هي الجمال.