שלוש-עשרה??

חלק גדול ממה שמתמטיקאים עושים ניתן לתיאור כחקירה של "דברים", שאנו מגלים באמצעות חשיבה מופשטת והם נעשים בעבורנו ממשיים כמו הבית שאנו גרים בו, אף שאין להם שום קיום מוחשי. דוגמאות לכך הן האנלוגים הרב־ממדיים של הפֵּאוֹנים האפלטוניים. אחד הצריחים של ה"סגרדה פמיליה" הבלתי גמורה של גאודי נועד לשאת בראשו עֶשְׂרִימוֹן (איקוסהדרון) משוכלל – פאון שכל פאותיו הן משולשים שווי־צלעות באותו גודל. זהו אובייקט ממשי לגמרי. אבל מתמטיקאים יודעים שלמרחב יכולים להיות יותר משלושה ממדים, ובמאה ה-19 גילה לודוויג שלפלי (Schläfli) כמה גרסאות ארבע־ממדיות מרהיבות – שנוכל רק לדמיין – של הפאונים המשוכללים התלת־ממדיים של אפלטון. במשך זמן רב התמקדה תשומת ליבי בדברים המיוצגים בנוסחה שלי כ-M_g, וידועים כ"מרחב המצבים של עקומים מגֶנוּס (סוג) g". אפילו לפי הסטנדרטים המתמטיים לגבי קיום וממשות, כאשר הייתי סטודנט המרחבים האלה היו אפופי ערפל; הם ריחפו בלימבו שבין פנטזיה למציאות מתמטית של ממש. רציתי לשנות זאת.

באותה עת פרץ לזירה אלכסנדר גרות'נדיק (Grothendieck). גרות'נדיק היה אדם ייחודי באמת ובתמים, שניחן ביכולת להגיע לרמות הפשטה גבוהות יותר מכל אדם לפניו, ולהשתמש בהפשטות אלה כדי לשפוך אור בהיר על אובייקטים מתמטיים ממשיים שטרם הבנו. התברר שאחת מתוצאותיו החשובות ניתנת ליישום על מרחב המצבים העמום שלי. אך אז עדיין לא ידעתי לעשות זאת. כוחה של התוצאה של גרות'נדיק התגלה רק כעבור שני עשורים, במחקרי עם ג'ו האריס (Harris). אז ידענו מספיק כדי לטפל ב-M_g כעצם ממשי (טכנית, כיריעות אלגבריות קוואזי־פרויקטיביות).

אם כך, מה מייצגת הנוסחה הזאת, ומה יפה בה? הנוסחה אומרת ששני דברים ("אגדים קוויים") הם למעשה שווים ("איזומורפיים"). האובייקט שמשמאל הוא המפתח לגאומטריה של כל מרחב כמו M_g. מאז ימי גאוס, אנחנו יודעים שכל המרחבים נחלקים בצורה גסה לשלושה סוגים: שטוחים כמו מישור, מעוקמים בצורה חיובית כמו פני כדור הארץ ומעוקמים בצורה שלילית כמו אוכף (כאשר סכום הזוויות של משולש הוא פחות מ-180°). האובייקט שמשמאל קובע היכן המרחב שלנו נמצא על פי החלוקה המשולשת הזאת. האובייקט שמימין הוא מה שראול בוט (Bott) כינה "מבנה טאוטולוגי": מבנה יסודי המתקבל מעצם ההגדרה של המרחב M_g. האיזומורפיזם בין שני האובייקטים האלה הוא המפתח שהראה כי אם g גדול מספיק, המרחבים שלנו שייכים לקבוצת המרחבים בעלי העקמומיות השלילית.

ההפתעה הגדולה כאן היא המספר 13. אם תדפדפו בכתבי עת במתמטיקה, תיווכחו על פי רוב כי המספרים היחידים הגדולים מ-2 הם מספרי העמודים. ה-13 הזה משתייך למסורת ארוכה של ספירת דברים גאומטריים, כגון העובדה שעל משטח ממעלה 3 יש בדיוק 27 ישרים (לרבות הישרים המרוכבים!). אבל בכל הכנות, המספר הזה נראה כמו בדיחה מוזרה של הבורא.