משוואות מקדונלד

משוואות מקדונלד הן הדבר היפה ביותר שגיליתי אי־פעם. הן שייכות לתורת המספרים, הענף העתיק וחסר השימוש ביותר של המתמטיקה. לידידי איאן מקדונלד (MacDonald) היה העונג להיות הראשון שגילה את המשוואות האלה, ולי היה העונג הכמעט־שווה להיות השני שגילה אותן. אף אחד מאיתנו לא ידע באותו זמן שהאחר עובד על אותה בעיה. בנותינו למדו באותה כיתה בבית הספר, ולכן דיברנו על הבנות ולא על מתמטיקה. גילינו משוואה בעבור הפונקציה טאו (שנוסחתה τ(n)), שחקר המתמטיקאי ההודי הגאון סריניווסה רמאנוג'ן (Ramanujan) ארבע שנים לפני מותו בגיל 32. כתבתי כאן את משוואת מקדונלד בעבור הפונקציה טאו. לנוסחה זו יש סימטריה מחומשת מדהימה, שרמאנוג'ן החמיץ. אפשר לראות את הסימטריה הזאת בעשרת הגורמים שמכפלתם מופיעה במונה של אגף ימין בנוסחה. אנחנו מכירים תודה לרמאנוג'ן לא רק על הדברים היפים שגילה, אלא גם על הדברים היפים שהשאיר לאנשים אחרים לגלות.

כדי להסביר כיצד פועלת המשוואה, נתבונן בשלושת המקרים הראשונים, n=1, 2, 3. הסכום הוא על כל הקבוצות של חמישה מספרים שלמים a, b, c, d, e המקיימים שלושה תנאים: סכומם הוא אפס; סכום הריבועים שלהם שווה ל-10n; והם צריכים לייצג את כל השאריות השונות בחלוקה ל-5 לפי הסדר. סימני הקריאה שבמכנה מציינים את פונקציית העצרת, 1!=1, 2!=1*2=2, 3!=1*2*3=6, 4!=1*2*3*4=24. כאשר n=1, הערכים האפשריים היחידים של a, b, c, d, e הם 1, 2, -2, -1, 0 (שסכומם אכן אפס, וסכום הריבועים שלהם הוא 10), ואנו מוצאים כי τ(1)=1. כאשר n=2 הבחירה היחידה היא 1, -3, 3, -1, 0 (שסכומם אפס וסכום הריבועים שלהם הוא 20), ואנו מוצאים כי τ(2)=-24. כאשר n=3 יש שתי קבוצות של ערכים אפשריים של a, b, c, d, e, שהן 1, -3, -2, 4, 0 או -4, 2, 3, -1, 0, שכל אחת מהן תורמת את המכפלה 3,6288, ולפיכך τ(3)=252. קל להיווכח שהערכים האלה תואמים את הערכים המתקבלים מן הנוסחאות של רמאנוג'ן.

משוואות מקדונלד הן מקרה פרטי של קשר עמוק יותר שגילה איאן מקדונלד בין שני סוגים של סימטריה – סימטריה מודולרית וסימטריה אָפִינִית. שני סוגי הסימטריה האלה התגלו תחילה בשני תחומי מדע שונים: הסימטריה המודולרית במתמטיקה טהורה והסימטריה האפינית בפיזיקה. סימטריה מודולרית מופיעה לעיני כול בציורי המלאכים והשדים של מאוריציוס אֶשֶר. אֶשֶר הבין את המתמטיקה שביסוד הסימטריה הזאת והיטיב לתאר את פרטיה ביצירותיו. סימטריה אפינית מתגלה בין השאר באופן המשונה שבו החלקיקים היסודיים מתארגנים כאשר הם נוצרים במאיצים באנרגיות גבוהות. המתמטיקאי רוברט לנגלנדס (Langlands) היה הראשון ששיער שיש קשרים בין הסימטריות האלה. איאן מקדונלד עשה צעד חשוב במימוש החלום הזה של לנגלנדס. המשוואה שכתבתי כאן היא חלק קטן מהצעד החשוב הזה של מקדונלד.