חוק אמפר

רוב המחקר שלי עוסק בקשר בין נושאים בגאומטריה דיפרנציאלית הקשורים בפיזיקה מתמטית לבין הטופולוגיה של מרחבים ארבעה־ממדיים. הנוסחאות שעל הלוח מייצגות כמה מן הרעיונות האלה, בין השאר דרך אנלוגיה למרחב התלת־ממדי.

השרטוט המרכזי שעל הלוח הוא חוק אמפר באלקטרומגנטיות, ורובו דומה לשרטוטים המופיעים בספרי הלימוד הסטנדרטיים בפיזיקה. משמאל למעלה מוצג הזרם, j, הזורם במעגל חשמלי המסומן בעקומה המודגשת בלבן. הזרם החשמלי מחולל שדה מגנטי, B, המסומן בחיצים קטנים. במצב דו־ממדי, הסימון בחיצים תואם את הדוגמה הנוצרת כאשר מפזרים שבבי מתכת על דף נייר שדרכו עובר חוט מתכת שזורם בו זרם חשמלי. השדה המגנטי מוגדר בכל מקום, כך שלמעשה עלינו לדמיין חיצים קטנים יוצאים מכל נקודה; אך למען הבהירות, אנחנו מציירים רק כמה מהחיצים האלו. התופעה הפיזיקלית הבסיסית, במילים פשוטות, היא שהשדה המגנטי מסודר "סביב" התיל, וחוק אמפר מתאר את הרעיון הזה באופן כמותי ומדויק.

מושג השדה הווקטורי (כגון שדה מגנטי, או לחלופין זרם חשמלי, שהוא שדה וקטורי המוגבל לתחומי התיל) היה מושג חיוני בפיזיקה המתמטית של תחילת המאה ה-19. מושג זה יוצר מסגרת משותפת לתיאור תופעות שונות, כגון חשמל, מגנטיות, כוח המשיכה ועוד. אחד הרעיונות החשובים בהקשר הזה הוא מושג ה"שטף" של שדה וקטורי דרך משטח. ההגדרה המתמטית כוללת תהליך של אינטגרציה על פני המשטח, אבל אפשר לתאר את הרעיון גם באופן אינטואיטיבי: אם נדמיין שהשדה הווקטורי מייצג מהירות זרימה של נוזל, השטף אינו אלא הקצב שבו הנוזל עובר דרך המשטח.

באחד הניסוחים שלו, "ההצגה האינטגרלית", חוק אמפר קובע שהתנועה הסיבובית של השטף סביב השפה של משטח (שהיא האינטגרל הקווי לאורך שפת המשטח) שווה לזרם דרך המשטח. הרעיון מודגם על ידי העיגול המסומן בקווים החותך את התיל. ניסוח אחר של חוק אמפר, "ההצגה הדיפרנציאלית", הוא קבוצת המשוואות בחלק הימני־תחתון של הלוח, המתארת את מרכיבי הזרם החשמלי כנגזרות בשלושת כיווני המרחב (x, y, z) של מרכיבי השדה המגנטי.

הלוח נועד לבטא, או לפחות להזכיר, כמה רעיונות רחבים במתמטיקה, שאני מוצא אותם יפים במיוחד. בצד שמאל אנו רואים תמונה ומילים; בצד ימין למטה, מערכת משוואות. אלו הם תיאורים שונים של אותו הדבר, והם מחקים דרכי מחשבה שונות: ציורית וסימבולית. נוסף על כך, התמונה מייצגת אובייקט מוחשי – חוט נחושת נושא זרם – בעולם האמיתי, אבל מתמטיקאי עשוי לשרטט תרשים כזה כייצוג של דבר־מה מורכב יותר: לדוגמה, אנו עשויים לדמיין שבמקום חוט נחושת חד־ממדי במרחב תלת־ממדי, החוט הוא אובייקט תלת־ממדי במרחב שבעה־ממדי, או אפילו אובייקט במרחב בעל אינסוף ממדים. הרחבה כזו של האינטואיציה הפיזיקלית שלנו למצבים מופשטים יותר יכולה להיות מועילה להפליא. השילוב בין הסבר אינטואיטיבי, ייצוג באמצעות שרטוט או נוסחה והסבר מופשט הוא יפה ומרומם את הנפש.

מה לכל זה ולטופולוגיה – חקר התופעות שאינן מושפעות משינויים רציפים? התרשים מראה לנו שלולאת התיל קשורה – אי־אפשר להפוך אותה למעגל פשוט בלי לחתוך אותה ולהדביקה מחדש. לא פשוט להוכיח זאת מתמטית, אך הדבר מוכר לנו היטב מניסיוננו. קשרים דומים לקשר המצויר יכולים להיות מסובכים בכל מידה שנרצה – כלומר קל לנו להבין אינטואיטיבית שטופולוגיה היא תחום מורכב וסבוך. ברמת פירוט גבוהה יותר, יש התאמה מדויקת בין קשרים לבין מרחבים ארבעה־ממדיים: הקשר מקודד הוראות לבניית מרחב ארבעה־ממדי על ידי חיבור אבני בניין מסוימות בצורה ספציפית.

הלוח שלפניכם מתאר את עיקרי הרעיונות המתמטיים המופיעים בו, ולא את פרטי פרטיהם. הרעיון שביקשתי להעביר הוא שחקירת השדה המגנטי הנוצר על ידי זרם חשמלי בתיל המפותל לכדי קשר מובילה לתובנות בטופולוגיה של קשרים ושל מרחבים ארבעה־ממדיים. במשך שלושת העשורים האחרונים היו התפתחויות רבות מסוג זה, אף שהפרטים שונים ממקרה למקרה. ההתפתחויות האלה כוללות, למשל, הכללות של אלקטרומגנטיות ל"שדות יאנג-מילס" (Yang-Mills), והן קשורות למכניקת הקוונטים ולתורת השדות הקוונטית. המושגים האלה מיוצגים בחלק השמאלי־תחתון של הלוח, שבו אנו בוחנים את השטף של השדה המגנטי דרך דסקה זעירה (אינפיניטסימלית). לשטף אינפיניטסימלי אין משמעות באלקטרומגנטיות קלאסית (ככל הידוע לכותב שורות אלה), אבל זהו רעיון יסודי בתורה הקוונטית, המתארת אינטראקציות בין שדה מגנטי לבין פונקציות הגל של אלקטרון.

מה מיוחד בשלושה או בארבעה ממדים? זוהי שאלה יסודית בתחום הטופולוגיה. מתברר שמבחינות רבות קל יותר להבין מרחבים בחמישה ממדים ומעלה. אפילו בלי להכיר את הפרטים או המשמעויות, אפשר לראות כיצד מספר הממדים של המרחב בא לידי ביטוי בנוסחאות המופיעות באיור. הנוסחאות מראות החלפה סיבובית של הקואורדינטות x, y, z. אפשר לכתוב את הנוסחאות האלה בצורה הזאת משום שיש בדיוק שלושה זוגות (xy), (yz), (zx) של שלוש הקואורדינטות. אפשר להכליל את התורה האלקטרומגנטית לממדים גבוהים יותר, אך אז השדה המגנטי לא יהיה עוד שדה וקטורי, אלא אובייקט מסובך יותר. המרחב התלת־ממדי מיוחד בכך שהשדה המגנטי הוא שדה וקטורי, בדיוק כמו השדה החשמלי. תופעות דומות מתקבלות גם בארבעה ממדים, אך במקרה זה יחולו מגבלות אחרות, הנקבעות על ידי מאפיינים טופולוגיים. הבנת כל המבנים האלה, ברמה היסודית, היא אתגר מרתק, ולעת עתה איננו מסוגלים לראות אלא צל של הידיעה השלמה. גם כאן בא לידי ביטוי יופייה של המתמטיקה: קשרים מפתיעים ומסתוריים בין תחומים שונים, והאופן שבו רעיונות ברורים ופשוטים לכאורה גובלים ומתמזגים בבלתי ידוע.