הנוסחאות של חבורת רי (Ree)

האם יש יופי במתמטיקה? השאלה הזאת נוגעת לאובייקטים מתמטיים ולקשרים ביניהם, שהם הנושא האמיתי של הוכחות. מתמטיקאים מסכימים בדרך כלל שיש יופי במבנה של משפטים והוכחות, גם אם לרוב רק המתמטיקאים עצמם מסוגלים לראות אותו.

מושג החבורה מדגים בצורה נפלאה את רעיון הסימטריה במתמטיקה. מהי חבורה? נחשוב על אובייקט כלשהו, מוחשי או מופשט. סימטריה של האובייקט – מתמטית, "אוטומורפיזם" – היא פעולת התאמה של האובייקט אל עצמו השומרת על כל התכונות שלו. ההרכבה של שתי סימטריות, הפועלות בזו אחר זו, גם היא סימטריה, ולכל סימטריה יש סימטריה הפוכה, זו המבטלת אותה. מתמטיקאים רואים בחבורות לי (Lie) רציפוֹת, כגון הסימטריוֹת של מעגל או כדור, יסודות נהדרים לאגף חשוב במתמטיקה ובפיזיקה. פרט לחבורות לי הרציפות, יש גם חבורות סופיות, מהן כאלו המתקבלות מחבורות לי על ידי צמצום למרחב סופי ובדיד.

חבורות עשויות להיות מסובכות להחריד. אם נתונה לנו חבורה, ייתכן שאפשר למפות אותה אל חבורה אחרת, תוך שמירה על פעולת הכפל. חבורה נקראת "פשוטה" אם התמונה שתתקבל בעקבות העתקה כזו תהיה העתק מדויק של החבורה המקורית, פרט למקרה שבו כל החבורה מועתקת לאיבר אחד, איבר היחידה. חבורות פשוטות הן אבני היסוד לכל החבורות, וכדי לחקור את כולן עלינו להכיר את כל החבורות הפשוטות. חבורות סימטריה סופיות הופיעו לראשונה בעבודתו של אווריסט גלואה (Galois) על משוואות אלגבריות. גלואה, בהיותו בן 18, הצליח להוכיח שאי־אפשר לפתור את המשוואה מהמעלה החמישית על ידי פעולות אלגבריות. הוא עשה זאת על ידי שהראה כי החבורה A₅ של התמורות הזוגיות (כלומר התמורות שאפשר להציג כמכפלה של מספר זוגי של חילופים) על חמש אותיות a, b, c, d, e היא חבורה פשוטה. זוהי החבורה הלא־קומוטטיבית הפשוטה הקטנה ביותר, והיא גם חבורת הסימטריות של העֶשְׂרִימוֹן (איקוסהדרון), מבנה גאומטרי נאה ביותר! היה אפשר לצפות כי חבורות פשוטות תהיינה חבורות הסימטריה של מבנים גאומטריים מיוחדים, אבל אין די בתובנה הזאת כדי לחקור חבורות פשוטות מופשטות, היפותטיות, דווקא בשל הקושי לבנות את היצורים הגאומטריים המתאימים על פי התכונות הפנימיות של החבורה. אורך ההוכחה המלאה למשפט הממיין את כל החבורות הפשוטות הסופיות הוא כ-3,000 עמודים, וכדי למצוא אותה נדרש המאמץ המרוכז של יותר מ-100 מתמטיקאים במשך למעלה מ-40 שנה.

מלבד שלושה יוצאי דופן, המשפחות הפשוטות הסופיות הראשונות שנמצאו הן אלו המתקבלות מחבורות לי. את המשפחות האלה מקבלים אם במקום להשתמש במספרים ממשיים או מרוכבים, כפי שעושים בחבורות לי רציפות, משתמשים בשדות סופיים בעלי מאפיין p, כאשר p הוא מספר ראשוני. המעבר הזה אינו מפריע בביצוע הפעולות האריתמטיות היסודיות, פרט לזה שחיבור מספר לעצמו p פעמים תוצאתו היא תמיד אפס. כל שאר המבנה עובר אל השדה הסופי בצורה חלקה, גם אם לא בקלות. יוצאי הדופן הם המשפחות שגילה המתמטיקאי רימאק רי (Ree); לחבורות לי מהטיפוסים B₂ ו-F₄ כאשר השדה בעל מאפיין 2, ומהטיפוס G₂ כאשר השדה בעל מאפיין 3, יש סימטריה נוספת שאפשר ליצור ממנה משפחות נוספות; כיום המשפחות האלה נקראות חבורות רי המפותלות. את חבורות B₂ המפותלות, וכן את העובדה שהן החבורות היחידוֹת מסוג זה, גילה מיצ'יו סוזוקי (Suzuki), בשיטות אחרות לגמרי. היחידוּת של החבורות מסוג F₄ הוּכחה גם היא; לעומת זאת, התברר כי קשה הרבה יותר להוכיח את היחידוּת של החבורות מטיפוס G₂.

בעקבות מאמצים גדולים של ריצ'רד תומפסון (Thompson) להוכיח את היחידוּת של G₂, נותר רק להראות כי העתקה מסוימת של שדה סופי ממאפיין 3, שנסמן אותה ב-σ, המקיימת מערכת מורכבת של תכונות בכמה משתנים, מוכרחה להיות כזו שאם מבצעים אותה פעמיים מתקבלת אותה פעולה כמו העלאת כל מספר בחזקת 3; כלומר σ² = 3. לרוע המזל, שיטות אלגבריות סטנדרטיות של צמצום משתנים הובילו עד מהרה למערכת משוואות שמספר הגורמים בהן היה גדול כל כך עד כי לא ניתן היה לטפל בכולם בשום מחשב. מה עושים? תומפסון גייס אותי להתמודדות עם סוגיה זו כבר ב-1973, אך לא הצלחתי להתקדם לשום מקום במבוך המשוואות המורכב הזה. ב-1979, כאשר העבודה על משפט המיון הייתה בשיאה, חשבתי שוב על המשוואות של תומפסון. שאלתי את עצמי אם באמת היה צורך לכתוב את כל הנוסחאות המסובכות האלה, או שמא יש דרך לעקוף את הבעיה. בעזרת תעלול מוזר, התברר לי שמתהליך הצמצום נובעת עוד פיסה אחת של מידע. על ידי ביצוע הצמצום בעזרת התעלול הזה שלוש פעמים רצופות, הצלחתי לקבל את המשוואה המיוחלת σ² = 3, פרט אולי לכמה מקרים סוררים, שאותם היה אפשר לשלול באמצעות מחשב. כך נפתרה בעיית היחידוּת, ועוד לבֵנה נוספה למשפט המיון של החבורות הפשוטות הסופיות.

הנוסחאות של חבורת רי כתובות בגיר לבן על לוח צפחה כהה, החל ממערכת הנוסחאות של תומפסון, עם חץ המצביע אל התוצאה הרצויה σ² = 3, שממנה נובעת היחידוּת של חבורות רי המפותלות. זוהי בעיה יפה, עם תוצאה פשוטה ואלגנטית וסימטריה פנימית חבויה המשקפת את התכונות של החבורה. למומחה, הפתרון שאינו דורש הפעלת כוח גס הוא דבר יפה בזכות עצמו. אכן, היופי מדריך מתמטיקאים אל האמת, גם בעל כורחם. כפי שכתב המשורר קיטס, יופי הוא אמת, אמת היא יופי.