משפט האינדקס

מתמטיקה היא בד בבד אמנות ומדע. היופי ממלא בה תפקיד מכריע, עובדה שכל מתמטיקאי מכיר בה. המתמטיקאי הגרמני הדגול הרמן וייל (Weyl), אחד הגיבורים שלי, היטיב לנסח זאת:

בעבודתי תמיד ניסיתי למזג את האמת עם היופי; וכאשר אני מוכרח לבחור ביניהם, היופי עדיף בעיניי.

מכיוון שמתמטיקה היא המדע המדויק ביותר, המדע המוקדש לגילוי האמת, אמירה זו של וייל עלולה להיראות מוזרה ואולי אף מתריסה – מן הסתם מלווה בקריצת עין. אבל אני מאמין שווייל היה רציני לחלוטין. הפרדוקס המדומה בפתגם הזה נובע מכך שאנחנו מחפשים, כביכול, את האמת האובייקטיבית, ואולם, לכל אורך הדרך, האמת עשויה להיות זמנית ולא ודאית. יופי, לעומת זאת, שהוא השיפוט הסובייקטיבי התלוי בעין המתבונן, הוא האור המדריך אותנו בדרך אל האמת.

אבל מהו היופי במתמטיקה, והאם הוא דומה ליופי שאפשר למצוא באמנות, במוזיקה או בשירה? קארל ויירשטראס (Weierstrass), לכאורה אנליסט חמור סבר, אמר פעם:

אי־אפשר להיות מתמטיקאי שלם בלי נשמה של משורר.

אמירות כאלה אולי אינן נהירות למי שאינו מצוי בסוד העניינים, אבל לטעמי משוואות יפות כגון זו של אוילר, e^2πi=1, על העומק והחסכנות שלה, שקולות לשאלתו המפורסמת של המלט,

להיות או לא להיות...

אדריכלות היא אולי צורת האמנות הקרובה ביותר למתמטיקה, ובשתיהן המבט הרחב המורכב מעושר של פרטים עדינים, היסודות האיתנים והיעילות הפונקציונלית, כולם מרכיבים חיוניים.

משפט האינדקס, המשוואה שבחרתי כדי לייצג את היופי שבמחקר המתמטי, ניחן בהוד והדר הנובעים מתאוריה עשירה ומקשרים לתחומים שונים במתמטיקה: טופולוגיה, גאומטריה ואנליזה. את הפרטים העדינים של ההוכחה, שהפשטות שלה מסתירה עומקים מפתיעים, יכולים להבין רק מי שהתמחו בנושא די הצורך.

כמו טירה בעלת שלושה מגדלים, למשוואה הזאת יש שלושה רכיבים שמקורם בשלושה ענפים מתמטיים, המקושרים באופן מפתיע. כמו לאדריכלות גדולה, יש לה מאפיינים ששורשיהם בזמנים קדומים, ובה בעת הם עושים שימוש בטכניקות עדכניות ומצביעים אל העתיד.

מקורותיה של המשוואה קושרים אותה לכמה שושלות מלכותיות: לאוילר (Euler) המהלך בין הגשרים של קניגסברג, לרימן (Riemann) הסופר ואומד את המספרים הראשוניים, ולגאוס (Gauss) החוקר את עקמומיות כדור הארץ. יש שירה בסיפור הזה, אבל העתיד חשוב לא פחות מהעבר. רוב השושלות המלכותיות דועכות, רק מעטות מהן שורדות לאורך זמן.

המשוואה שלי בת 40 לערך [בעת כתיבת הטקסט על ידי עטיה; משפט האינדקס הוכח ב-1963], ומאז נמצאו לה שימושים בלתי צפויים, שווייל היה מבין ומעריך אותם, בתחומים מרכזיים ויסודיים בפיזיקה. למעשה, אפשר לשייך כמה מהרעיונות האלה לעבודתו של וייל עצמו.

לסיום, בנימה אישית, המשוואה שלי מייצגת שיתוף פעולה פורה עם רבים מעמיתיי: פריץ הירצברוך (Hirzebruch) מבון, ראול בוט (Bott) מהרווארד, איזידור זינגר (Singer) מ-MIT וויג'יי פטודי (Patodi) ממומבאי, שכמו משוררים מוכשרים רבים מת באופן טרגי בגיל צעיר. יופי הוא חוויה אנושית, וראוי לחלוק אותו עם חברים.